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单射和满射的定义是什么意思

畫卷琴夢
发布： 2024-12-18 20:46:26
原创
7650人浏览过
单射（一一映射）：每个输入元素对应唯一输出元素，且不同输入对应不同输出。满射（映射）：输出空间每个元素至少被一个输入元素映射到。

单射和满射的定义是什么意思

单射和满射的定义

单射

单射，也称为一一映射，是指一个函数，其中输入空间中的每个元素都在输出空间中被唯一映射到一个元素。换句话说，对于任何两个不同的输入元素 x 和 y，函数 f(x) 和 f(y) 都不相等。

满射

满射，也称为映射，是指一个函数，其中输出空间中的每个元素至少被输入空间中的一个元素映射到。换句话说，对于输出空间中的任何元素 z，存在输入空间中的至少一个元素 x，使得 f(x) = z。

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详细说明

单射性

  • 如果函数 f 从集合 A 到集合 B 是单射的，则对于任何 a1 和 a2 属于 A，如果 f(a1) = f(a2)，则 a1 = a2。
  • 单射函数可以视为将输入空间中的元素一一对应到输出空间中的元素。
  • 例如，函数 f(x) = 2x 从实数集合到实数集合是单射的，因为对于任何实数 x1 和 x2，如果 f(x1) = f(x2)，则 2x1 = 2x2，因此 x1 = x2。

满射性

  • 如果函数 f 从集合 A 到集合 B 是满射的，则对于 B 中的任何元素 b，存在 A 中的至少一个元素 a，使得 f(a) = b。
  • 满射函数可以视为将输入空间中的所有元素映射到输出空间中。
  • 例如，函数 f(x) = x² 从正实数集合到正实数集合是满射的，因为对于正实数 b，我们可以找到正实数 a = √b，使得 f(a) = a² = b。

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