花书线性回归-PaddlePaddle版（第一课）

本文围绕线性回归展开，介绍其基本元素，包括线性模型、损失函数、解析解、随机梯度下降及预测应用，还涉及矢量化加速以提升效率，解释了正态分布与平方损失的关联，并将线性回归视为单层神经网络，展现从线性回归到深度网络的过渡。

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花书线性回归-PaddlePaddle版（第一课）

回归（regression）是能为一个或多个自变量与因变量之间关系建模的一类方法。 在自然科学和社会科学领域，回归经常用来表示输入和输出之间的关系。

在机器学习领域中的大多数任务通常都与预测（prediction）有关。 当我们想预测一个数值时，就会涉及到回归问题。 常见的例子包括：预测价格（房屋、股票等）、预测住院时间（针对住院病人等）、 预测需求（零售销量等）。 但不是所有的预测都是回归问题。 在后面的章节中，我们将介绍分类问题。分类问题的目标是预测数据属于一组类别中的哪一个。

一、线性回归的基本元素

线性回归（linear regression）可以追溯到19世纪初， 它在回归的各种标准工具中最简单而且最流行。 线性回归基于几个简单的假设： 首先，假设自变量$\mathbf{x}$x和因变量$y$y之间的关系是线性的， 即$y$y可以表示为$\mathbf{x}$x中元素的加权和，这里通常允许包含观测值的一些噪声； 其次，我们假设任何噪声都比较正常，如噪声遵循正态分布。

为了解释线性回归，我们举一个实际的例子： 我们希望根据房屋的面积（平方英尺）和房龄（年）来估算房屋价格（美元）。 为了开发一个能预测房价的模型，我们需要收集一个真实的数据集。 这个数据集包括了房屋的销售价格、面积和房龄。 在机器学习的术语中，该数据集称为训练数据集（training data set） 或训练集（training set）。 每行数据（比如一次房屋交易相对应的数据）称为样本（sample）， 也可以称为数据点（data point）或数据样本（data instance）。 我们把试图预测的目标（比如预测房屋价格）称为标签（label）或目标（target）。 预测所依据的自变量（面积和房龄）称为特征（feature）或协变量（covariate）。

通常，我们使用$n$n来表示数据集中的样本数。 对索引为$i$i的样本，其输入表示为${\mathbf{x}}^{(i)}=[x_1^{(i)},x_2^{(i)}{]}^{\mathrm{\top }}$x(i)=[x1(i),x2(i)]⊤， 其对应的标签是$y^{(i)}$y(i)。

1.线性模型

线性假设是指目标（房屋价格）可以表示为特征（面积和房龄）的加权和，如下面的式子：

$$\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{e}=w_{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}}\cdot \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}+w_{\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{e}}\cdot \mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{e}+b\mathrm{.}$$price=warea⋅area+wage⋅age+b.

:eqlabel:eq_price-area

:eqref:eq_price-area中的$w_{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}}$warea和$w_{\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{e}}$wage 称为权重（weight），权重决定了每个特征对我们预测值的影响。 $b$b称为偏置（bias）、偏移量（offset）或截距（intercept）。 偏置是指当所有特征都取值为0时，预测值应该为多少。 即使现实中不会有任何房子的面积是0或房龄正好是0年，我们仍然需要偏置项。 如果没有偏置项，我们模型的表达能力将受到限制。 严格来说， :eqref:eq_price-area是输入特征的一个 仿射变换（affine transformation）。 仿射变换的特点是通过加权和对特征进行线性变换（linear transformation）， 并通过偏置项来进行平移（translation）。

给定一个数据集，我们的目标是寻找模型的权重$\mathbf{w}$w和偏置$b$b， 使得根据模型做出的预测大体符合数据里的真实价格。 输出的预测值由输入特征通过线性模型的仿射变换决定，仿射变换由所选权重和偏置确定。

而在机器学习领域，我们通常使用的是高维数据集，建模时采用线性代数表示法会比较方便。 当我们的输入包含$d$d个特征时，我们将预测结果$\widehat{y}$y^ （通常使用“尖角”符号表示$y$y的估计值）表示为：

$$\widehat{y}=w_1{x}_1+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+w_d{x}_d+b\mathrm{.}$$y^=w1x1+...+wdxd+b.

将所有特征放到向量$\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^d$x∈Rd中， 并将所有权重放到向量$\mathbf{w}\in {\mathbb{R}}^d$w∈Rd中， 我们可以用点积形式来简洁地表达模型：

$$\widehat{y}={\mathbf{w}}^{\mathrm{\top }}\mathbf{x}+b\mathrm{.}$$y^=w⊤x+b.

:eqlabel:eq_linreg-y

在 :eqref:eq_linreg-y中， 向量$\mathbf{x}$x对应于单个数据样本的特征。 用符号表示的矩阵$\mathbf{X}\in {\mathbb{R}}^{n\times d}$X∈Rn×d 可以很方便地引用我们整个数据集的$n$n个样本。 其中，$\mathbf{X}$X的每一行是一个样本，每一列是一种特征。

对于特征集合$\mathbf{X}$X，预测值$\widehat{\mathbf{y}}\in {\mathbb{R}}^n$y^∈Rn 可以通过矩阵-向量乘法表示为：

$$\widehat{\mathbf{y}}=\mathbf{X}\mathbf{w}+b$$y^=Xw+b

这个过程中的求和将使用广播机制 （广播机制在 :numref:subsec_broadcasting中有详细介绍）。 给定训练数据特征$\mathbf{X}$X和对应的已知标签$\mathbf{y}$y， 线性回归的目标是找到一组权重向量$\mathbf{w}$w和偏置$b$b： 当给定从$\mathbf{X}$X的同分布中取样的新样本特征时， 这组权重向量和偏置能够使得新样本预测标签的误差尽可能小。

虽然我们相信给定$\mathbf{x}$x预测$y$y的最佳模型会是线性的， 但我们很难找到一个有$n$n个样本的真实数据集，其中对于所有的$1\le i\le n$1≤i≤n，$y^{(i)}$y(i)完全等于${\mathbf{w}}^{\mathrm{\top }}{\mathbf{x}}^{(i)}+b$w⊤x(i)+b。 无论我们使用什么手段来观察特征$\mathbf{X}$X和标签$\mathbf{y}$y， 都可能会出现少量的观测误差。 因此，即使确信特征与标签的潜在关系是线性的， 我们也会加入一个噪声项来考虑观测误差带来的影响。

在开始寻找最好的模型参数（model parameters）$\mathbf{w}$w和$b$b之前， 我们还需要两个东西： （1）一种模型质量的度量方式； （2）一种能够更新模型以提高模型预测质量的方法。

2.损失函数

在我们开始考虑如何用模型拟合（fit）数据之前，我们需要确定一个拟合程度的度量。 损失函数（loss function）能够量化目标的实际值与预测值之间的差距。 通常我们会选择非负数作为损失，且数值越小表示损失越小，完美预测时的损失为0。 回归问题中最常用的损失函数是平方误差函数。 当样本$i$i的预测值为${\widehat{y}}^{(i)}$y^(i)，其相应的真实标签为$y^{(i)}$y(i)时， 平方误差可以定义为以下公式：

$$l^{(i)}(\mathbf{w},b)=\frac{1}{2}{({\widehat{y}}^{(i)}-y^{(i)})}^2\mathrm{.}$$l(i)(w,b)=21(y^(i)−y(i))2.

常数$\frac{1}{2}$21不会带来本质的差别，但这样在形式上稍微简单一些 （因为当我们对损失函数求导后常数系数为1）。 由于训练数据集并不受我们控制，所以经验误差只是关于模型参数的函数。 为了进一步说明，来看下面的例子。 我们为一维情况下的回归问题绘制图像，如 :numref:fig_fit_linreg所示。

由于平方误差函数中的二次方项， 估计值${\widehat{y}}^{(i)}$y^(i)和观测值$y^{(i)}$y(i)之间较大的差异将导致更大的损失。 为了度量模型在整个数据集上的质量，我们需计算在训练集$n$n个样本上的损失均值（也等价于求和）。

$$L(\mathbf{w},b)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{l}^{(i)}(\mathbf{w},b)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}{({\mathbf{w}}^{\mathrm{\top }}{\mathbf{x}}^{(i)}+b-y^{(i)})}^2\mathrm{.}$$L(w,b)=n1i=1∑nl(i)(w,b)=n1i=1∑n21(w⊤x(i)+b−y(i))2.

在训练模型时，我们希望寻找一组参数（${\mathbf{w}}^{\ast },b^{\ast }$w∗,b∗）， 这组参数能最小化在所有训练样本上的总损失。如下式：

$${\mathbf{w}}^{\ast },b^{\ast }=\underset{\mathbf{w},b}{}L(\mathbf{w},b)\mathrm{.}$$w∗,b∗=w,bargmin L(w,b).

3.解析解

线性回归刚好是一个很简单的优化问题。 与我们将在本书中所讲到的其他大部分模型不同，线性回归的解可以用一个公式简单地表达出来， 这类解叫作解析解（analytical solution）。 首先，我们将偏置$b$b合并到参数$\mathbf{w}$w中，合并方法是在包含所有参数的矩阵中附加一列。 我们的预测问题是最小化$\mathrm{\parallel }\mathbf{y}-\mathbf{X}\mathbf{w}{\mathrm{\parallel }}^2$∥y−Xw∥2。 这在损失平面上只有一个临界点，这个临界点对应于整个区域的损失极小点。 将损失关于$\mathbf{w}$w的导数设为0，得到解析解：

$${\mathbf{w}}^{\ast }=({\mathbf{X}}^{\mathrm{\top }}\mathbf{X}{)}^{-1}{\mathbf{X}}^{\mathrm{\top }}\mathbf{y}\mathrm{.}$$w∗=(X⊤X)−1X⊤y.

像线性回归这样的简单问题存在解析解，但并不是所有的问题都存在解析解。 解析解可以进行很好的数学分析，但解析解对问题的限制很严格，导致它无法广泛应用在深度学习里。

4.随机梯度下降

即使在我们无法得到解析解的情况下，我们仍然可以有效地训练模型。 在许多任务上，那些难以优化的模型效果要更好。 因此，弄清楚如何训练这些难以优化的模型是非常重要的。

本书中我们用到一种名为梯度下降（gradient descent）的方法， 这种方法几乎可以优化所有深度学习模型。 它通过不断地在损失函数递减的方向上更新参数来降低误差。

梯度下降最简单的用法是计算损失函数（数据集中所有样本的损失均值） 关于模型参数的导数（在这里也可以称为梯度）。 但实际中的执行可能会非常慢：因为在每一次更新参数之前，我们必须遍历整个数据集。 因此，我们通常会在每次需要计算更新的时候随机抽取一小批样本， 这种变体叫做小批量随机梯度下降（minibatch stochastic gradient descent）。

在每次迭代中，我们首先随机抽样一个小批量$\mathcal{B}$B， 它是由固定数量的训练样本组成的。 然后，我们计算小批量的平均损失关于模型参数的导数（也可以称为梯度）。 最后，我们将梯度乘以一个预先确定的正数$\eta$η，并从当前参数的值中减掉。

我们用下面的数学公式来表示这一更新过程（$\mathrm{\partial }$∂表示偏导数）：

$$(\mathbf{w},b)\leftarrow (\mathbf{w},b)-\frac{\eta }{\mathrm{\mid }\mathcal{B}\mathrm{\mid }}\sum _{i\in \mathcal{B}}{\mathrm{\partial }}_{(\mathbf{w},b)}{l}^{(i)}(\mathbf{w},b)\mathrm{.}$$(w,b)←(w,b)−∣B∣ηi∈B∑∂(w,b)l(i)(w,b).

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总结一下，算法的步骤如下： （1）初始化模型参数的值，如随机初始化； （2）从数据集中随机抽取小批量样本且在负梯度的方向上更新参数，并不断迭代这一步骤。 对于平方损失和仿射变换，我们可以明确地写成如下形式:

$$\begin{array}{cc}{\displaystyle \mathbf{w}}& {\displaystyle \leftarrow \mathbf{w}-\frac{\eta }{\mathrm{\mid }\mathcal{B}\mathrm{\mid }}\sum _{i\in \mathcal{B}}{\mathrm{\partial }}_{\mathbf{w}}{l}^{(i)}(\mathbf{w},b)=\mathbf{w}-\frac{\eta }{\mathrm{\mid }\mathcal{B}\mathrm{\mid }}\sum _{i\in \mathcal{B}}{\mathbf{x}}^{(i)}({\mathbf{w}}^{\mathrm{\top }}{\mathbf{x}}^{(i)}+b-y^{(i)}),}\\ {\displaystyle b}& {\displaystyle \leftarrow b-\frac{\eta }{\mathrm{\mid }\mathcal{B}\mathrm{\mid }}\sum _{i\in \mathcal{B}}{\mathrm{\partial }}_b{l}^{(i)}(\mathbf{w},b)=b-\frac{\eta }{\mathrm{\mid }\mathcal{B}\mathrm{\mid }}\sum _{i\in \mathcal{B}}({\mathbf{w}}^{\mathrm{\top }}{\mathbf{x}}^{(i)}+b-y^{(i)})\mathrm{.}}\end{array}$$wb←w−∣B∣ηi∈B∑∂wl(i)(w,b)=w−∣B∣ηi∈B∑x(i)(w⊤x(i)+b−y(i)),←b−∣B∣ηi∈B∑∂bl(i)(w,b)=b−∣B∣ηi∈B∑(w⊤x(i)+b−y(i)).

公式 :eqref:eq_linreg_batch_update中的$\mathbf{w}$w和$\mathbf{x}$x都是向量。 在这里，更优雅的向量表示法比系数表示法（如$w_1,w_2,\dots ,w_d$w1,w2,…,wd）更具可读性。 $\mathrm{\mid }\mathcal{B}\mathrm{\mid }$∣B∣表示每个小批量中的样本数，这也称为批量大小（batch size）。 $\eta$η表示学习率（learning rate）。 批量大小和学习率的值通常是手动预先指定，而不是通过模型训练得到的。 这些可以调整但不在训练过程中更新的参数称为超参数（hyperparameter）。 调参（hyperparameter tuning）是选择超参数的过程。 超参数通常是我们根据训练迭代结果来调整的， 而训练迭代结果是在独立的验证数据集（validation dataset）上评估得到的。

在训练了预先确定的若干迭代次数后（或者直到满足某些其他停止条件后）， 我们记录下模型参数的估计值，表示为$\widehat{\mathbf{w}},\widehat{b}$w^,b^。 但是，即使我们的函数确实是线性的且无噪声，这些估计值也不会使损失函数真正地达到最小值。 因为算法会使得损失向最小值缓慢收敛，但却不能在有限的步数内非常精确地达到最小值。

线性回归恰好是一个在整个域中只有一个最小值的学习问题。 但是对于像深度神经网络这样复杂的模型来说，损失平面上通常包含多个最小值。 深度学习实践者很少会去花费大力气寻找这样一组参数，使得在训练集上的损失达到最小。 事实上，更难做到的是找到一组参数，这组参数能够在我们从未见过的数据上实现较低的损失， 这一挑战被称为泛化（generalization）。

5.用模型进行预测

给定“已学习”的线性回归模型${\widehat{\mathbf{w}}}^{\mathrm{\top }}\mathbf{x}+\widehat{b}$w^⊤x+b^， 现在我们可以通过房屋面积$x_1$x1和房龄$x_2$x2来估计一个（未包含在训练数据中的）新房屋价格。 给定特征估计目标的过程通常称为预测（prediction）或推断（inference）。

本书将尝试坚持使用预测这个词。 虽然推断这个词已经成为深度学习的标准术语，但其实推断这个词有些用词不当。 在统计学中，推断更多地表示基于数据集估计参数。 当深度学习从业者与统计学家交谈时，术语的误用经常导致一些误解。

二、矢量化加速

在训练我们的模型时，我们经常希望能够同时处理整个小批量的样本。 为了实现这一点，需要(我们对计算进行矢量化， 从而利用线性代数库，而不是在Python中编写开销高昂的for循环)。

%matplotlib inlineimport mathimport timeimport numpy as npimport paddle

n = 10000a = paddle.ones([n])
b = paddle.ones([n])

class Timer:  #@save
    """记录多次运行时间。"""
    def __init__(self):
        self.times = []
        self.start()    def start(self):
        """启动计时器。"""
        self.tik = time.time()    def stop(self):
        """停止计时器并将时间记录在列表中。"""
        self.times.append(time.time() - self.tik)        return self.times[-1]    def avg(self):
        """返回平均时间。"""
        return sum(self.times) / len(self.times)    def sum(self):
        """返回时间总和。"""
        return sum(self.times)    def cumsum(self):
        """返回累计时间。"""
        return np.array(self.times).cumsum().tolist()

c = paddle.zeros([n])
timer = Timer()for i in range(n):
    c[i] = a[i] + b[i]f'{timer.stop():.5f} sec'

'0.85271 sec'

timer.start()
d = a + bf'{timer.stop():.5f} sec'

'0.01487 sec'

def normal(x, mu, sigma):
    p = 1 / math.sqrt(2 * math.pi * sigma**2)    return p * np.exp(-0.5 / sigma**2 * (x - mu)**2)

from matplotlib import pyplot as pltfrom IPython import displaydef use_svg_display():
    """Use the svg format to display a plot in Jupyter.

    Defined in :numref:`sec_calculus`"""
    display.set_matplotlib_formats('svg')def set_axes(axes, xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend):
    """Set the axes for matplotlib.

    Defined in :numref:`sec_calculus`"""
    axes.set_xlabel(xlabel)
    axes.set_ylabel(ylabel)
    axes.set_xscale(xscale)
    axes.set_yscale(yscale)
    axes.set_xlim(xlim)
    axes.set_ylim(ylim)    if legend:
        axes.legend(legend)
    axes.grid()    
def set_figsize(figsize=(3.5, 2.5)):
    """Set the figure size for matplotlib.

    Defined in :numref:`sec_calculus`"""
    use_svg_display()
    plt.rcParams['figure.figsize'] = figsize

def plot(X, Y=None, xlabel=None, ylabel=None, legend=None, xlim=None,
         ylim=None, xscale='linear', yscale='linear',
         fmts=('-', 'm--', 'g-.', 'r:'), figsize=(3.5, 2.5), axes=None):
    """Plot data points.

    Defined in :numref:`sec_calculus`"""
    if legend is None:
        legend = []

    set_figsize(figsize)
    axes = axes if axes else plt.gca()    # Return True if `X` (tensor or list) has 1 axis
    def has_one_axis(X):
        return (hasattr(X, "ndim") and X.ndim == 1 or isinstance(X, list)                and not hasattr(X[0], "__len__"))    if has_one_axis(X):
        X = [X]    if Y is None:
        X, Y = [[]] * len(X), X    elif has_one_axis(Y):
        Y = [Y]    if len(X) != len(Y):
        X = X * len(Y)
    axes.cla()    for x, y, fmt in zip(X, Y, fmts):        if len(x):
            axes.plot(x, y, fmt)        else:
            axes.plot(y, fmt)
    set_axes(axes, xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend)

# 再次使用numpy进行可视化x = np.arange(-7, 7, 0.01)# 均值和标准差对params = [(0, 1), (0, 2), (3, 1)]

plot(x, [normal(x, mu, sigma) for mu, sigma in params], xlabel='x',
         ylabel='p(x)', figsize=(4.5, 2.5),
         legend=[f'mean {mu}, std {sigma}' for mu, sigma in params])

/opt/conda/envs/python35-paddle120-env/lib/python3.7/site-packages/ipykernel_launcher.py:7: DeprecationWarning: `set_matplotlib_formats` is deprecated since IPython 7.23, directly use `matplotlib_inline.backend_inline.set_matplotlib_formats()`
  import sys

<Figure size 324x180 with 1 Axes>

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