最大子数组和问题是什么？Kadane算法-js教程-PHP中文网

最大子数组和问题是什么？Kadane算法

幻夢星雲

发布： 2025-08-18 09:50:02

原创

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kadane算法能正确处理全负数数组，其时间复杂度为o(n)，通过一次遍历维护以当前元素结尾的最大子数组和与全局最大和，最终返回最大子数组和，适用于各类整数数组且具有高效性与鲁棒性。

最大子数组和问题是什么？Kadane算法

最大子数组和问题，简单来说，就是给定一个整数数组，你需要找出其中一个连续子数组，使得它的元素之和最大。Kadane算法，则是解决这个问题的经典且高效的方法。它以一种非常巧妙的动态规划思想，在一次遍历中就能找到这个最大和。

解决方案

解决最大子数组和问题，Kadane算法无疑是首选。它的核心思路在于维护两个关键变量：当前子数组的最大和（

current_max

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）和全局最大和（

global_max

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）。

遍历数组时，对于每一个数字

num

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：

```
current_max
```
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会考虑两种情况：是
```
num
```
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本身更大，还是
```
num
```
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加上之前
```
current_max
```
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的结果更大。也就是说，如果
```
current_max
```
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加上
```
num
```
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变得更小，那我们宁愿从
```
num
```
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重新开始计算新的子数组和。
```
current_max = max(num, current_max + num)
```
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接着，
```
global_max
```
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就会更新，它记录下目前为止所有
```
current_max
```
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中最大的那个值。
```
global_max = max(global_max, current_max)
```
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这个过程持续到数组的末尾，最终

global_max

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就是我们想要的最大子数组和。这种思路的巧妙之处在于，它避免了重复计算，而且总能保证

current_max

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是以当前元素结尾的子数组的最大和，从而确保

global_max

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能捕获到整体的最优解。

Kadane算法如何处理全负数数组的情况？

这是一个很常见的问题，也体现了Kadane算法的鲁棒性。当数组中所有数字都是负数时，最大子数组和其实就是那个最大的（或者说，最不负的）单个数字。Kadane算法在设计上就考虑到了这一点。

让我们回溯一下算法逻辑：

current_max = max(num, current_max + num)

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。如果

num

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是负数，并且

current_max + num

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比

num

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本身还小（因为

current_max

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可能是之前的正数或者较小的负数，但加上一个负数后变得更负），那么

current_max

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就会被重置为当前的

num

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。这意味着，算法会“抛弃”之前那些拖累总和的负数序列，转而从当前这个负数开始一个新的子数组。

举个例子，数组是

[-2, -1, -3]

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。

初始：
```
global_max = -Infinity
```
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(或者数组的第一个元素，比如
```
-2
```
登录后复制
)，
```
current_max = 0
```
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(或者数组的第一个元素)

遍历

-2

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：

```
current_max = max(-2, 0 + -2) = -2
```
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```
global_max = max(-Infinity, -2) = -2
```
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遍历

-1

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：

current_max = max(-1, -2 + -1) = max(-1, -3) = -1

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```
global_max = max(-2, -1) = -1
```
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遍历

-3

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：

current_max = max(-3, -1 + -3) = max(-3, -4) = -3

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```
global_max = max(-1, -3) = -1
```
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最终结果是

-1

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，这正是这个全负数数组中最大的那个数。所以，即便所有数字都是负数，Kadane算法也能正确地给出那个“最大”的负数作为结果，因为它本质上是在寻找一个“损失最小”的子数组。

十天学会PHP教程

以前写了十天学会ASP，十天学会ASP.NET什么的，现在想想再写个PHP吧，也算比较全了。 PHP的调试方法我这里就不说了，外面很多文章都有介绍，也有很多不同的组合。我这里暂时是以 Apache web server 和 MY SQL 作为WEB服务器和数据库，在php-4.3.3下的环境做的程序。当然要简单的构建和访问查看数据库 PHPMYADMIN 不可少。

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Kadane算法的时间复杂度是多少？它为何如此高效？

Kadane算法的时间复杂度是 O(n)，其中 n 是数组中元素的数量。这简直是太棒了！为什么这么说呢？因为它只需要对数组进行一次线性遍历。

我们来对比一下：

暴力解法： 尝试所有可能的子数组。一个长度为 n 的数组有 n*(n+1)/2 个连续子数组。对于每个子数组，你可能还需要遍历其元素求和。这会是 O(n^3) 的复杂度（如果每次都重新求和）或者 O(n^2)（如果使用前缀和优化）。显然，当 n 很大时，这种方法会非常慢。
分治法： 也可以解决这个问题，通常是 O(n log n)。它将数组分成两半，递归解决，然后处理跨越中间的子数组。虽然比暴力法好，但仍然不如 Kadane算法。

Kadane算法之所以高效，就在于它利用了动态规划的思想，并且做到了极致的优化：

无后效性： 当前的决策（
```
current_max
```
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的更新）只依赖于上一步的
```
current_max
```
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和当前元素，与更早之前的元素无关。
最优子结构： 整体的最大和问题可以分解为以每个元素结尾的最大和子问题。
空间效率： 它只需要常数级别的额外空间（O(1)），因为我们只存储
```
current_max
```
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和
```
global_max
```
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这两个变量。

这种单次遍历、状态只依赖前一个状态的特性，让Kadane算法在处理大规模数据时展现出卓越的性能，这也是它在面试和实际工程中如此受欢迎的原因。我个人觉得，能把一个看似复杂的问题简化到一次遍历解决，这本身就是一种技术美学。

如何在实际编程中应用Kadane算法？

在实际编程中应用Kadane算法非常直接。无论是Python、Java、C++还是JavaScript，实现起来都非常简洁。下面我用Python为例，展示一个典型的实现：

def max_subarray_sum(nums):
    """
    使用Kadane算法解决最大子数组和问题。

    Args:
        nums: 一个包含整数的列表。

    Returns:
        最大的连续子数组和。
        如果列表为空，可以根据需求返回0或抛出错误。
        这里我们假设列表至少包含一个元素，或者如果为空，返回0。
    """
    if not nums:
        # 实际应用中，这里可能需要根据具体需求抛出异常或返回特定值
        print("输入数组为空，返回0。")
        return 0

    # 初始化 global_max 为数组的第一个元素，或者一个足够小的负数
    # 这样可以确保即使所有数字都是负数，也能正确找到最大的那个负数
    global_max = nums[0]
    # current_max 初始化为数组的第一个元素
    current_max = nums[0]

    # 从第二个元素开始遍历
    for i in range(1, len(nums)):
        num = nums[i]

        # 关键一步：判断是延续之前的子数组，还是从当前数字重新开始
        # 如果 current_max + num 比 num 本身还小，说明之前的子数组和已经拖累了，不如从 num 重新开始
        current_max = max(num, current_max + num)

        # 更新全局最大和
        global_max = max(global_max, current_max)

        # print(f"处理 {num}: current_max = {current_max}, global_max = {global_max}") # 调试用

    return global_max

# 示例
print("示例 1:")
arr1 = [-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4]
print(f"数组: {arr1}")
print(f"最大子数组和: {max_subarray_sum(arr1)}") # 预期输出 6 (子数组 [4, -1, 2, 1])

print("\n示例 2: 全负数数组")
arr2 = [-2, -1, -3, -5]
print(f"数组: {arr2}")
print(f"最大子数组和: {max_subarray_sum(arr2)}") # 预期输出 -1 (子数组 [-1])

print("\n示例 3: 简单正数数组")
arr3 = [1, 2, 3]
print(f"数组: {arr3}")
print(f"最大子数组和: {max_subarray_sum(arr3)}") # 预期输出 6 (子数组 [1, 2, 3])

print("\n示例 4: 混合数组")
arr4 = [5, 4, -1, 7, 8]
print(f"数组: {arr4}")
print(f"最大子数组和: {max_subarray_sum(arr4)}") # 预期输出 23 (子数组 [5, 4, -1, 7, 8])

print("\n示例 5: 空数组")
arr5 = []
print(f"数组: {arr5}")
print(f"最大子数组和: {max_subarray_sum(arr5)}") # 预期输出 0 (根据函数约定)

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在实际编码时，初始化