props的值不要直接绑定到下拉框，组件渲染的时候取props的值赋值给data中的属性，下拉框的v-model来自于data；
你选择下拉框的选项时会去更改props的值，所以会报错；
手机打字不方便，不知道你能不能看懂。
补充说明：当然为了保证外面修改props值的时候，内部的下拉框组件能正确的显示，还需要添加相应的watch，这个不赘述了

// html
v-model="province"
v-model="city"

// js
props: ['provinceValue','cityValue'],
data: function() {
  province: this.provinceValue,
  city: this.cityValue
},
watch: {},

另外你那个change事件用switch…case…真的好么

在vue2中严禁子组件直接修改父组件的数据，因为单向数据流。。

可以通过事件通知父组件进行修改，或者，通过回调。我一般用回调。

父组件

<child-comp :afterSelect="handle"></child-comp>

// ...

methods: {
    handle(data) {
        this.data = data
    }
}

在子组件中加change事件，然后直接回掉这个

<template>
    <select :model="selectData" @change="onChange"></select>
</template>
<script>
  export default {
    name: 'childComp',
    data() {
        return {
            selectData: null
        }
    },
    props: ['afterSelect'],
    methods:{
        onChange(ev){
            this.afterSelect(this.selectData)
        }
    }
  }
</script>