题主没给出 checkutil 和 checkdata 的类型，我只能以我自己的推倒来模拟：

class Checker {
    isNumber(data) {
        return !isNaN(data);
    }
}

var checker = new Checker();
var checkdata = "15";
var checkutil = "checker";
var result = eval(checkutil + '.isNumber("' + checkdata + '")');

console.log(result); // 输出 true

这时候 eval 里边的字符串是：checker.isNumber("15")，是没有任何语法错误的。
我们把 checkdata 改成非单纯的数字字符串：

var checkdata = "15abc";
// ....

console.log(result); // 输出 false

这时候 eval 里边的字符串是：checker.isNumber("15abc")，也是没有任何语法错误的。

但是，如果我们将 eval 中的双引去掉:

// ...
var result = eval(checkutil + '.isNumber(' + checkdata + ')');

产生异常：

undefined:1
checker.isNumber(15abc)
                 ^^

SyntaxError: missing ) after argument list

checker.isNumber(15abc) 中 isNumber 方法的参数 15abc 究竟是个什么类型呢？既不是有效的字面量也不是定义过的对象。所以你知道为什么会出现语法错误了吧。
双引是为了确保 isNumber 的参数为一个有效的对象，而双引表示的字符串一定是有效的对象。

引号之间是一一配对的，就是以单（双）引号开头，就以单（双）引号结束，中间的所有内容都是字符串的内容，包括双（单）引号。
假设checkdata == '数据'
那么，'.isNumber("'+checkdata+'")'的运算结果就是：
.isNumber("数据")

首先你问题里说'checkutil+'.isNumber("'+checkdata+'")'，你写错了啊，人家明明是checkutil+'.isNumber("'+checkdata+'")'

看这个问题的时候首先需要明白，为什么我们需要进行单双引号的套用，主要目的我们是为了在字符串里拼接我们的变量，而单层引号则代表了字符串数据类型，从你自己的例子里我明白这个目的你是明白的。那么我们来分析问题

checkutil+'.isNumber("'+checkdata+'")'这里首先，checkutil是一个变量，因此我们checkutil+''是没有问题的，然后接着看，checkutil+'.isNumber("")'很显然这样拼接出来的字符串是xxisNumber(""),这里也就没毛病了，然后接着看由于又需要拼接一个变量，所以在字符串内，拼接数据，因为这里""，需要保留，那么显然需要再次利用单引号来接入数据checkutil+'.isNumber("'+checkdata+'")'

需要记住：一对完整的引号内部代表字符串

ES6 有一种模板写法，不得不让你惊叫

var a = 123;

var b = `${a}`;

alert(b);