JavaScript算法设计_动态规划

动态规划通过分解问题、保存子问题解来避免重复计算，适用于斐波那契、爬楼梯等问题；2. 基本步骤包括定义状态、状态转移方程、初始化、遍历顺序和返回结果；3. 爬楼梯问题的状态转移方程为dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]，可用数组自底向上求解。

动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是解决复杂问题的一种高效方法，特别适用于具有重叠子问题和最优子结构的问题。在JavaScript中实现动态规划算法，可以帮助我们优化递归过程、减少重复计算，提升程序性能。

什么是动态规划？

动态规划的核心思想是：将一个大问题分解为多个小问题，先求解小问题，把结果保存起来（通常用数组或对象），避免重复计算，再逐步构建出原问题的解。

它常用于以下类型的问题：

• 斐波那契数列
• 爬楼梯问题
• 背包问题
• 最长公共子序列（LCS）
• 最长递增子序列（LIS）

动态规划的基本步骤

设计一个动态规划算法，通常遵循以下几个步骤：

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• 定义状态：明确dp数组中每个元素代表什么含义，比如dp[i]表示前i个元素的最优解。
• 状态转移方程：找出当前状态如何由之前的状态推导出来，这是最关键一步。
• 初始化：设置初始值，如dp[0] = 1等，防止越界或错误计算。
• 遍历顺序：确保在计算dp[i]时，所有依赖的状态已经计算完成。
• 返回结果：根据题目要求返回dp数组中的某个值。

经典案例：爬楼梯（LeetCode 70）

假设你正在爬楼梯，每次可以爬1阶或2阶。问有多少种不同的方法可以爬到第n阶？

分析：

创意工作室bootstrap模板

Bootstrap，来自 Twitter，是目前很受欢迎的前端框架。Bootstrap 是基于 HTML、CSS、JavaScript 的，它简洁灵活，使得 Web 开发更加快捷。[1] 它由Twitter的设计师Mark Otto和Jacob Thornton合作开发，是一个CSS/HTML框架。Bootstrap提供了优雅的HTML和CSS规范，它即是由动态CSS语言Less写成。Boots

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• 到达第n阶的方法数 = 到达第n-1阶的方法数 + 到达第n-2阶的方法数
• 这就是一个斐波那契数列问题

function climbStairs(n) {
  if (n <= 2) return n;
<p>let dp = new Array(n + 1);
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;</p><p>for (let i = 3; i <= n; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}</p><p>return dp[n];
}</p>

也可以空间优化，只保留前两个状态：

function climbStairs(n) {
  if (n <= 2) return n;
<p>let prev2 = 1; // dp[i-2]
let prev1 = 2; // dp[i-1]</p><p>for (let i = 3; i <= n; i++) {
let current = prev1 + prev2;
prev2 = prev1;
prev1 = current;
}</p><p>return prev1;
}</p>

另一个例子：0-1背包问题

给定一组物品，每个物品有重量和价值，在总重量不超过W的前提下，如何选择物品使得总价值最大？

设dp[i][w]表示前i个物品在容量为w时的最大价值。

function knapsack(weights, values, W) {
  const n = weights.length;
  let dp = Array.from({ length: n + 1 }, () => 
    Array(W + 1).fill(0)
  );
<p>for (let i = 1; i <= n; i++) {
for (let w = 0; w <= W; w++) {
if (weights[i - 1] <= w) {
dp[i][w] = Math.max(
dp[i - 1][w], // 不选当前物品
dp[i - 1][w - weights[i - 1]] + values[i - 1] // 选当前物品
);
} else {
dp[i][w] = dp[i - 1][w]; // 超重，不能选
}
}
}</p><p>return dp[n][W];
}</p>

这个二维DP可以进一步优化为一维数组，节省空间。

基本上就这些。掌握动态规划的关键在于多练习，理解状态定义和转移逻辑。从简单问题入手，逐步过渡到复杂场景，就能熟练运用这一强大工具。

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